Contagem (arranjos, permutações e combinações)

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de contagem (arranjos, permutações e combinações), do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   O Rui vai de férias e quer levar 4 dos 9 livros que tem por ler. De quantas maneiras pode escolher os livros?
   Resolução

   1. Combinações (a ordem não interessa):
      $^{9}C_{4} = 126$

   Resposta: 126

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 3

   Uma turma vai escolher, de entre 12 voluntários, uma comissão de 3 alunos (sem cargos diferentes).
   
   Quantas comissões diferentes se podem formar?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $1728$
   2. $220$
   3. $479001600$
   4. $1320$
   Resolução

   1. A ordem não interessa e não há repetição: combinações.
   2. Calcula:
      $^{12}C_{3} = 220$

   Resposta: B. $220$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Numa turma de 28 alunos, de quantas maneiras se podem escolher um delegado, um subdelegado e um secretário?
   Resolução

   1. Arranjos simples (a ordem interessa, sem repetição):
      $^{28}A_{3} = 28 \times 27 \times 26 = 19656$

   Resposta: 19656

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Uma turma vai escolher, de entre 9 voluntários, uma comissão de 5 alunos (sem cargos diferentes).
   
   Quantas comissões diferentes se podem formar?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $15120$
   2. $59049$
   3. $362880$
   4. $126$
   Resolução

   1. A ordem não interessa e não há repetição: combinações.
   2. Calcula:
      $^{9}C_{5} = 126$

   Resposta: D. $126$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Por quantas ordens diferentes se podem apresentar 9 trabalhos?
   Resolução

   1. Permutações (todos os elementos, por ordem):
      $9! = 362880$

   Resposta: 362880

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Uma turma vai escolher, de entre 8 voluntários, uma comissão de 4 alunos (sem cargos diferentes).
   
   Quantas comissões diferentes se podem formar?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $1680$
   2. $40320$
   3. $4096$
   4. $70$
   Resolução

   1. A ordem não interessa e não há repetição: combinações.
   2. Calcula:
      $^{8}C_{4} = 70$

   Resposta: D. $70$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Quantos códigos de 2 algarismos (de 0 a 9, podendo repetir-se algarismos) é possível formar?
   Resolução

   1. Arranjos completos (a ordem interessa e pode repetir-se):
      $10^2 = 100$

   Resposta: 100

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Contou sequências ordenadas (arranjos) quando a ordem não interessa (combinações), ou o contrário.

  Quantos códigos de 2 letras, todas diferentes, se podem formar com 7 letras dadas?

  Resposta errada: 21 Certa: 42

  Aqui a ordem interessa: usa arranjos simples, não combinações.

• Confundiu arranjos completos (com repetição) com arranjos simples (sem repetição).

  Quantos códigos de 2 letras, todas diferentes, se podem formar com 7 letras dadas?

  Resposta errada: 49 Certa: 42

  Não há repetições: cada escolha tem menos uma possibilidade do que a anterior.

• Somou as possibilidades de etapas sucessivas em vez de as multiplicar.

  O Rui vai de férias e quer levar 4 dos 9 livros que tem por ler. De quantas maneiras pode escolher os livros?

  Resposta errada: 36 Certa: 126

  Usa combinações: $^nC_p$.

• Usou n! em vez de nAp (contou todas as posições).

  Quantos códigos de 2 letras, todas diferentes, se podem formar com 7 letras dadas?

  Resposta errada: 5040 Certa: 42

  Só se escolhem $p$ posições, não todas.

• Ao tratar elementos que ficam juntos como um bloco, esqueceu as ordens possíveis dentro do bloco.

  De quantas maneiras se podem dispor 5 livros diferentes lado a lado numa prateleira, de modo que os dois livros de Matemática ficam juntos?

  Resposta errada: 24 Certa: 48

  Dentro do bloco, os dois podem trocar de lugar: multiplica por $2!$.

• Contou todas as ordenações, ignorando a condição imposta (juntos, nas pontas, …).

  De quantas maneiras se podem dispor 5 livros diferentes lado a lado numa prateleira, de modo que os dois livros de Matemática ficam juntos?

  Resposta errada: 120 Certa: 48

  Isso conta todas as ordenações, sem a condição de ficarem juntos.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Conhecer e aplicar os princípios da adição e da multiplicação em problemas de contagem. p. 19
• Identificar arranjos completos, permutações e arranjos simples como casos particulares da aplicação do princípio da multiplicação. p. 19
• Identificar combinações como forma de saber o número de subconjuntos p. 20

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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