Sucessões e progressões

Experimenta

3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de sucessões e progressões, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Numa progressão aritmética $(u_n)$, $u_1 = 12$ e a razão é $2$. Qual é a soma dos 26 primeiros termos?
   Resolução

   1. $u_{26} = 12 + 25 \times (2) = 62$.
   2. Soma:
      $S_{26} = \frac{12 + (62)}{2} \times 26 = 962$

   Resposta: 962

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Seja $(u_n)$ a progressão aritmética de primeiro termo $-5$ e razão $5$.
   
   Qual é a soma dos 10 primeiros termos de $(u_n)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $350$
   2. $200$
   3. $40$
   4. $175$
   Resolução

   1. Termo de ordem 10:
      $u_{10} = -5 + 9 \times (5) = 40$
   2. Soma:
      $S_{10} = \frac{-5 + (40)}{2} \times 10 = 175$

   Resposta: D. $175$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Considera a progressão geométrica $(u_n)$ de primeiro termo $u_1 = 4$ e razão $\frac{1}{4}$. Qual é a soma de todos os termos de $(u_n)$?
   Resolução

   1. Como $|r| = \frac{1}{4} < 1$, a soma de todos os termos é finita:
      $S = \frac{u_1}{1 - r}$
   2. Calcula:
      $S = \frac{4}{1 - (\frac{1}{4})} = \frac{16}{3}$

   Resposta: 16/3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Seja $(u_n)$ a progressão aritmética de primeiro termo $8$ e razão $2$.
   
   Qual é a soma dos 20 primeiros termos de $(u_n)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $540$
   2. $46$
   3. $560$
   4. $1080$
   Resolução

   1. Termo de ordem 20:
      $u_{20} = 8 + 19 \times (2) = 46$
   2. Soma:
      $S_{20} = \frac{8 + (46)}{2} \times 20 = 540$

   Resposta: A. $540$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Considera a progressão geométrica $(u_n)$ de primeiro termo $u_1 = -4$ e razão $\frac{3}{4}$. Qual é a soma de todos os termos de $(u_n)$?
   Resolução

   1. Como $|r| = \frac{3}{4} < 1$, a soma de todos os termos é finita:
      $S = \frac{u_1}{1 - r}$
   2. Calcula:
      $S = \frac{-4}{1 - (\frac{3}{4})} = -16$

   Resposta: -16

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Seja $(v_n)$ a progressão geométrica de primeiro termo $3$ e razão $2$.
   
   Qual é o valor de $v_{4}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $54$
   2. $24$
   3. $48$
   4. $9$
   Resolução

   1. Termo geral:
      $v_n = 3 \times (2)^{n-1}$
   2. n = 4:
      $v_{4} = 3 \times (2)^{3} = 24$

   Resposta: B. $24$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Numa progressão aritmética $(u_n)$, $u_1 = -1$ e a razão é $-2$. Qual é a soma dos 20 primeiros termos?
   Resolução

   1. $u_{20} = -1 + 19 \times (-2) = -39$.
   2. Soma:
      $S_{20} = \frac{-1 + (-39)}{2} \times 20 = -400$

   Resposta: -400

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Usou u₁ + n·r em vez de u₁ + (n − 1)·r.

  Numa progressão aritmética $(u_n)$, $u_1 = 11$ e a razão é $3$. Qual é o valor de $u_{18}$?

  Resposta errada: 65 Certa: 62

  $u_n = u_1 + (n-1)r$ (do 1.º ao n.º termo há $n-1$ saltos).

• Usou u₁·rⁿ em vez de u₁·rⁿ⁻¹.

  Seja $(v_n)$ a progressão geométrica de primeiro termo $3$ e razão $2$.
  
  Qual é o valor de $v_{4}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: C. $48$ Certa: B. $24$

  $v_n = v_1 \times r^{n-1}$: o expoente é 3, não 4.

• Na soma da progressão aritmética, não dividiu por 2.

  Seja $(u_n)$ a progressão aritmética de primeiro termo $-5$ e razão $4$.
  
  Qual é a soma dos 10 primeiros termos de $(u_n)$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: B. $260$ Certa: D. $130$

  Na soma $\frac{u_1 + u_n}{2} \times n$ falta dividir por 2.

• Na soma infinita, usou u₁/(1 + r) em vez de u₁/(1 − r).

  Considera a progressão geométrica $(u_n)$ de primeiro termo $u_1 = 6$ e razão $\frac{1}{4}$. Qual é a soma de todos os termos de $(u_n)$?

  Resposta errada: 4,8 Certa: 8

  A soma de todos os termos é $\frac{u_1}{1 - r}$.

• Na soma infinita, usou 1/(1 − r) sem multiplicar pelo 1.º termo.

  Considera a progressão geométrica $(u_n)$ de primeiro termo $u_1 = 6$ e razão $\frac{1}{4}$. Qual é a soma de todos os termos de $(u_n)$?

  Resposta errada: 4/3 Certa: 8

  Falta multiplicar pelo 1.º termo: $\frac{u_1}{1-r}$.

• No termo geral, trocou a razão e o 1.º termo.

  Seja $(v_n)$ a progressão geométrica de primeiro termo $3$ e razão $2$.
  
  Qual é o valor de $v_{4}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: A. $54$ Certa: B. $24$

  Trocaste o 1.º termo com a razão.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Reconhecer progressões aritméticas e geométricas. p. 20
• Saber definir progressões aritméticas e geométricas através do 1.º termo e da razão p. 20
• Determinar a soma de 𝑛 termos consecutivos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica. p. 21
• Conhecer que a soma de todos os termos de uma progressão geométrica (série geométrica), com |𝑟| < 1 é um valor finito. p. 21

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

Temas relacionados