Números complexos na forma trigonométrica

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de números complexos na forma trigonométrica, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 1

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = -1 - i$. Qual é, em graus, o argumento de $z$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?
   Resolução

   1. Localiza o afixo de $z$ (sinais das partes real e imaginária) e usa $\operatorname{tg} \theta = \frac{b}{a}$.
   2. \arg z = 225^\circ

   Resposta: 225

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = -3$. Qual é, em graus, o argumento de $z$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?
   Resolução

   1. Localiza o afixo de $z$ (sinais das partes real e imaginária) e usa $\operatorname{tg} \theta = \frac{b}{a}$.
   2. \arg z = 180^\circ

   Resposta: 180

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = 3\,e^{i \frac{4\pi}{3}}$. Qual é o módulo de $z^{2}$?
   Resolução

   1. $|z^{2}| = 3^{2} = 9$

   Resposta: 9

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = 3\,e^{i \frac{3\pi}{2}}$. Qual é, em graus, o argumento de $z^{2}$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?
   Resolução

   1. $\arg(z^{2}) = 2 \times 270^\circ = 540^\circ$
   2. Reduz a $[0°, 360°[$: 180°.

   Resposta: 180

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 3

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = 5\,e^{i \frac{\pi}{4}}$. Qual é o módulo de $z^{3}$?
   Resolução

   1. $|z^{3}| = 5^{3} = 125$

   Resposta: 125

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = 4\,e^{i \frac{\pi}{3}}$. Qual é, em graus, o argumento de $z^{5}$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?
   Resolução

   1. $\arg(z^{5}) = 5 \times 60^\circ = 300^\circ$
   2. Reduz a $[0°, 360°[$: 300°.

   Resposta: 300

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Em $\mathbb{C}$, considera $z = 2\,e^{i \frac{5\pi}{3}}$. Qual é, em graus, o argumento de $z^{5}$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?
   Resolução

   1. $\arg(z^{5}) = 5 \times 300^\circ = 1500^\circ$
   2. Reduz a $[0°, 360°[$: 60°.

   Resposta: 60

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Na potência, multiplicou o módulo pelo expoente em vez de o elevar.

  Em $\mathbb{C}$, considera $z = 2\,e^{i \frac{5\pi}{3}}$. Qual é o módulo de $z^{4}$?

  Resposta errada: 8 Certa: 16

  Na potência, o módulo é elevado ao expoente: $|z^n| = |z|^n$.

• Na potência, não multiplicou o argumento pelo expoente.

  Em $\mathbb{C}$, considera $z = 3\,e^{i \frac{5\pi}{3}}$. Qual é, em graus, o argumento de $z^{3}$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?

  Resposta errada: 300 Certa: 180

  Na potência, o argumento é multiplicado pelo expoente.

• Determinou o argumento sem atender ao quadrante do afixo (erro de 180°).

  Em $\mathbb{C}$, considera $z = -1 - i$. Qual é, em graus, o argumento de $z$ pertencente ao intervalo $[0°, 360°[$?

  Resposta errada: 45 Certa: 225

  Confirma o quadrante pelos sinais da parte real e da parte imaginária.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano.

• Representar números complexos na forma trigonométrica. p. 14
• Efetuar operações com números complexos na forma trigonométrica (multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). p. 14
• Caracterizar domínios planos através de condições na variável complexa e vice-versa. p. 14

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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