Produto escalar, declive e inclinação

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de produto escalar, declive e inclinação, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ tem equação $y = -\frac{2}{3}x + 5$. Qual é o declive de uma reta perpendicular a $r$?
   Resolução

   1. Retas perpendiculares (não verticais): $m_r \times m_s = -1$.
   2. Logo:
      $m_s = -\frac{1}{-\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

   Resposta: 1,5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(-3, 2)$ e $\vec{v}(-4, 2)$.
   
   Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-3$
   2. $-14$
   3. $12$
   4. $16$
   Resolução

   1. Produto escalar em coordenadas:
      $(-3) \times (-4) + (2) \times (2) = 16$

   Resposta: D. $16$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado, considera os vetores $\vec{u}(1, 1, 0)$ e $\vec{v}(2, 0, 2)$. Qual é, em graus, a amplitude do ângulo formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$?
   Resolução

   1. $\cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\|}$.
   2. Calcula e identifica o ângulo: 60°.

   Resposta: 60

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(-1, -3)$ e $\vec{v}(2, 4)$.
   
   Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-14$
   2. $2$
   3. $-10$
   4. $-2$
   Resolução

   1. Produto escalar em coordenadas:
      $(-1) \times (2) + (-3) \times (4) = -14$

   Resposta: A. $-14$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ tem inclinação 45° e ordenada na origem -2. Qual é o declive de $r$?
   Resolução

   1. Declive = tangente da inclinação:
      $m = \operatorname{tg} 45^\circ = 1$

   Resposta: 1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(-3, -1)$ e $\vec{v}(-1, -5)$.
   
   Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $8$
   2. $-10$
   3. $16$
   4. $3$
   Resolução

   1. Produto escalar em coordenadas:
      $(-3) \times (-1) + (-1) \times (-5) = 8$

   Resposta: A. $8$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(2, 3)$ e $\vec{v}(1, 6)$. Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?
   Resolução

   1. Produto escalar em coordenadas:
      $(2) \times (1) + (3) \times (6) = 20$

   Resposta: 20

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• No produto escalar, esqueceu uma das parcelas (coordenada).

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(3, 2)$ e $\vec{v}(-5, -5)$. Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?

  Resposta errada: -15 Certa: -25

  O produto escalar soma os produtos de todas as coordenadas correspondentes.

• Somou as coordenadas em vez de as multiplicar.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(3, 2)$ e $\vec{v}(-5, -5)$. Qual é o valor de $\vec{u} \cdot \vec{v}$?

  Resposta errada: -5 Certa: -25

  Multiplicam-se as coordenadas correspondentes e somam-se os produtos.

• Na condição de perpendicularidade, errou o sinal ao resolver u·v = 0.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(4, -4)$ e $\vec{v}(-4, k)$, com $k \in \mathbb{R}$. Para que valor de $k$ são $\vec{u}$ e $\vec{v}$ perpendiculares?

  Resposta errada: 4 Certa: -4

  Resolve $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ com cuidado nos sinais.

• Para a reta perpendicular, trocou só o sinal do declive (falta o inverso).

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ tem equação $y = -\frac{2}{3}x + 5$. Qual é o declive de uma reta perpendicular a $r$?

  Resposta errada: 2/3 Certa: 1,5

  O declive da perpendicular é $-\frac{1}{m}$ (simétrico do inverso).

• Para a reta perpendicular, usou o inverso do declive sem trocar o sinal.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ tem equação $y = -\frac{2}{3}x + 5$. Qual é o declive de uma reta perpendicular a $r$?

  Resposta errada: -1,5 Certa: 1,5

  O declive da perpendicular é $-\frac{1}{m}$ (falta trocar o sinal).

• Indicou o suplementar do ângulo pedido.

  Num referencial ortonormado, considera os vetores $\vec{u}(1, 1, 0)$ e $\vec{v}(2, 0, 2)$. Qual é, em graus, a amplitude do ângulo formado por $\vec{u}$ e $\vec{v}$?

  Resposta errada: 120 Certa: 60

  O sinal do produto escalar indica se o ângulo é agudo ou obtuso.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Conhecer o conceito de produto escalar de dois vetores, no plano e no espaço, definido com base nas coordenadas dos vetores num referencial ortonormado. p. 14
• Reconhecer, analisar e aplicar na resolução de problemas a noção de produto escalar, nomeadamente: relacionando o ângulo de dois vetores não nulos com o sinal do respetivo produto escalar; estabelecendo uma relação entre os declives de duas retas perpendiculares no plano; determinando o ângulo entre dois vetores; e determinando o ângulo formado por duas retas. p. 15
• Reconhecer e aplicar na resolução de problemas a relação entre a inclinação e o declive de uma reta no plano. p. 14

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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