Retas e planos no espaço

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de retas e planos no espaço, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(-2, 1, 1)$ e tem vetor normal $\vec{n}(-3, 4, -1)$. Uma equação de $\alpha$ é $-3x + 4y - z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?
   Resolução

   1. O ponto $P$ verifica a equação:
      $(-3) \times (-2) + (4) \times (1) + (-1) \times (1) + d = 0$
   2. Logo:
      $d = -9$

   Resposta: -9

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(-4, 0, 0)$ e tem vetor normal $\vec{n}(-1, -2, -1)$. Uma equação de $\alpha$ é $-x - 2y - z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?
   Resolução

   1. O ponto $P$ verifica a equação:
      $(-1) \times (-4) + (-2) \times (0) + (-1) \times (0) + d = 0$
   2. Logo:
      $d = -4$

   Resposta: -4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado do espaço, considera o plano $\alpha: -2x + 10y + 11z = 0$ e o ponto $Q(-4, -5, -3)$. Qual é a distância do ponto $Q$ ao plano $\alpha$?
   Resolução

   1. Distância de um ponto a um plano:
      $d = \frac{|ax_Q + by_Q + cz_Q + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
   2. Calcula:
      $\frac{|-75|}{\sqrt{225}} = 5$

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado do espaço, considera o plano $\alpha: -2x + 10y + 11z - 5 = 0$ e o ponto $Q(-4, 3, 2)$. Qual é a distância do ponto $Q$ ao plano $\alpha$?
   Resolução

   1. Distância de um ponto a um plano:
      $d = \frac{|ax_Q + by_Q + cz_Q + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
   2. Calcula:
      $\frac{|55|}{\sqrt{225}} = \frac{11}{3}$

   Resposta: 11/3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(4, -1, 1)$ e tem vetor normal $\vec{n}(3, 2, 2)$. Uma equação de $\alpha$ é $3x + 2y + 2z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?
   Resolução

   1. O ponto $P$ verifica a equação:
      $(3) \times (4) + (2) \times (-1) + (2) \times (1) + d = 0$
   2. Logo:
      $d = -12$

   Resposta: -12

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(-2, -2, 5)$ e tem vetor normal $\vec{n}(3, 4, -3)$. Uma equação de $\alpha$ é $3x + 4y - 3z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?
   Resolução

   1. O ponto $P$ verifica a equação:
      $(3) \times (-2) + (4) \times (-2) + (-3) \times (5) + d = 0$
   2. Logo:
      $d = 29$

   Resposta: 29

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do espaço, considera o plano $\alpha: -2x - 10y + 11z + 8 = 0$ e o ponto $Q(2, 4, 0)$. Qual é a distância do ponto $Q$ ao plano $\alpha$?
   Resolução

   1. Distância de um ponto a um plano:
      $d = \frac{|ax_Q + by_Q + cz_Q + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
   2. Calcula:
      $\frac{|-36|}{\sqrt{225}} = \frac{12}{5}$

   Resposta: 2,4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Errou o sinal do termo independente d na equação do plano.

  Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(-1, -3, 0)$ e tem vetor normal $\vec{n}(4, -1, 4)$. Uma equação de $\alpha$ é $4x - y + 4z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?

  Resposta errada: -1 Certa: 1

  Substitui o ponto na equação $ax + by + cz + d = 0$: $d = -(ax_P + by_P + cz_P)$.

• Só usou uma coordenada do ponto para obter d.

  Num referencial ortonormado do espaço, o plano $\alpha$ passa no ponto $P(-1, -3, 0)$ e tem vetor normal $\vec{n}(4, -1, 4)$. Uma equação de $\alpha$ é $4x - y + 4z + d = 0$. Qual é o valor de $d$?

  Resposta errada: 4 Certa: 1

  Usa as três coordenadas do ponto.

• Na distância de um ponto a um plano, não dividiu pela norma do vetor normal.

  Num referencial ortonormado do espaço, considera o plano $\alpha: x + 2y + 2z = 0$ e o ponto $Q(-3, 4, -1)$. Qual é a distância do ponto $Q$ ao plano $\alpha$?

  Resposta errada: 3 Certa: 1

  Divide por $\|\vec{n}\| = 3$.

• Esqueceu o módulo na distância a um plano (deu um valor negativo).

  Num referencial ortonormado do espaço, considera o plano $\alpha: -2x + 10y + 11z = 0$ e o ponto $Q(-4, -5, -3)$. Qual é a distância do ponto $Q$ ao plano $\alpha$?

  Resposta errada: -5 Certa: 5

  A distância é sempre não negativa (usa o módulo).

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Determinar a equação cartesiana de um plano dados um ponto e um vetor normal. p. 15
• Resolver problemas envolvendo: equações vetoriais de retas; equações cartesianas de planos; distância de um ponto a um plano; e posição relativa de retas e planos. p. 15

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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