Pontos notáveis do triângulo

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de pontos notáveis do triângulo, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-4, -2)$, $B(-2, 4)$ e $C(3, 2)$. Onde se situa o circuncentro do triângulo?
   1. No interior do triângulo.
   2. No exterior do triângulo.
   3. Sobre um lado do triângulo (no ponto médio da hipotenusa).
   4. Num vértice do triângulo (o do ângulo reto).
   Resolução

   1. Produtos escalares nos vértices (sinal do cosseno de cada ângulo): 38, 2, 27.
   2. O triângulo é acutângulo.
   3. Logo, o circuncentro fica: no interior do triângulo.

   Resposta: A. No interior do triângulo.

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-5, 3)$, $B(2, -5)$ e $C(-3, 5)$. Seja $G$ o baricentro (ponto de interseção das medianas) do triângulo. Qual é a abcissa de $G$?
   Resolução

   1. O baricentro tem por coordenadas a média das coordenadas dos vértices.
   2. Abcissa:
      $\frac{(-5) + (2) + (-3)}{3} = -2$

   Resposta: -2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-1, -2)$, $B(-7, 3)$ e $C(2, 4)$. Seja $G$ o baricentro (ponto de interseção das medianas) do triângulo. Qual é a abcissa de $G$?
   Resolução

   1. O baricentro tem por coordenadas a média das coordenadas dos vértices.
   2. Abcissa:
      $\frac{(-1) + (-7) + (2)}{3} = -2$

   Resposta: -2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado, o triângulo de vértices $A(-6, -7)$, $B(-2, 1)$ e $C(-2, -7)$ é retângulo em $C$. Qual é a abcissa do circuncentro do triângulo?
   Resolução

   1. Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa $[AB]$.
   2. Abcissa:
      $\frac{-6 + (-2)}{2} = -4$

   Resposta: -4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado, o triângulo de vértices $A(-18, -7)$, $B(-10, -13)$ e $C(-10, -7)$ é retângulo em $C$. Qual é a abcissa do circuncentro do triângulo?
   Resolução

   1. Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa $[AB]$.
   2. Abcissa:
      $\frac{-18 + (-10)}{2} = -14$

   Resposta: -14

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(2, 10)$, $B(-1, 4)$ e $C(-4, 4)$. Onde se situa o circuncentro do triângulo?
   1. No interior do triângulo.
   2. No exterior do triângulo.
   3. Sobre um lado do triângulo (no ponto médio da hipotenusa).
   4. Num vértice do triângulo (o do ângulo reto).
   Resolução

   1. Produtos escalares nos vértices (sinal do cosseno de cada ângulo): 54, -9, 18.
   2. O triângulo é obtusângulo.
   3. Logo, o circuncentro fica: no exterior do triângulo.

   Resposta: B. No exterior do triângulo.

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(10, -1)$, $B(6, 4)$ e $C(3, -4)$. Onde se situa o circuncentro do triângulo?
   1. No interior do triângulo.
   2. No exterior do triângulo.
   3. Sobre um lado do triângulo (no ponto médio da hipotenusa).
   4. Num vértice do triângulo (o do ângulo reto).
   Resolução

   1. Produtos escalares nos vértices (sinal do cosseno de cada ângulo): 13, 28, 45.
   2. O triângulo é acutângulo.
   3. Logo, o circuncentro fica: no interior do triângulo.

   Resposta: A. No interior do triângulo.

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Somou as coordenadas dos vértices sem dividir por 3.

  Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-5, -4)$, $B(-4, 3)$ e $C(3, 3)$. Seja $G$ o baricentro (ponto de interseção das medianas) do triângulo. Qual é a abcissa de $G$?

  Resposta errada: -6 Certa: -2

  O baricentro é a média das coordenadas dos três vértices: falta dividir por 3.

• Calculou o ponto médio de um lado em vez do baricentro.

  Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-5, -4)$, $B(-4, 3)$ e $C(3, 3)$. Seja $G$ o baricentro (ponto de interseção das medianas) do triângulo. Qual é a abcissa de $G$?

  Resposta errada: -4,5 Certa: -2

  Isso é o ponto médio de um lado; o baricentro usa os três vértices.

• Tomou o vértice do ângulo reto (ortocentro) como circuncentro.

  Num referencial ortonormado, o triângulo de vértices $A(-6, -7)$, $B(-2, 1)$ e $C(-2, -7)$ é retângulo em $C$. Qual é a abcissa do circuncentro do triângulo?

  Resposta errada: -2 Certa: -4

  O vértice do ângulo reto é o ortocentro; o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.

• Trocou os pontos notáveis (baricentro, circuncentro, ortocentro).

  Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, -2)$ e $C(6, 0)$. Onde se situa o ortocentro do triângulo?

  Resposta errada: C. Sobre um lado do triângulo (no ponto médio da hipotenusa). Certa: D. Num vértice do triângulo (o do ângulo reto).

  Num triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o ortocentro é o vértice do ângulo reto.

• Não relacionou a posição do circuncentro/ortocentro com o tipo de triângulo quanto aos ângulos.

  Num referencial ortonormado, considera o triângulo de vértices $A(-3, 2)$, $B(5, -2)$ e $C(6, 0)$. Onde se situa o ortocentro do triângulo?

  Resposta errada: A. No interior do triângulo. Certa: D. Num vértice do triângulo (o do ângulo reto).

  A posição depende do tipo de triângulo quanto aos ângulos: interior (acutângulo), exterior (obtusângulo), na fronteira (retângulo).

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• Localizar os pontos notáveis em triângulos equiláteros, isósceles e escalenos e em triângulos acutângulos, retângulos e obtusângulos. p. 33

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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