Trigonometria e funções trigonométricas

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de trigonometria e funções trigonométricas, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Sabe-se que $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$ e que $\alpha$ pertence ao 2.º quadrante. Qual é o valor de $\operatorname{sen} \alpha$?
   Resolução

   1. Fórmula fundamental:
      $\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
   2. Logo:
      $\operatorname{sen} \alpha = \pm\sqrt{1 - \left(-\frac{15}{17}\right)^2} = \pm \frac{8}{17}$
   3. No 2.º quadrante: $\operatorname{sen} \alpha = \frac{8}{17}$, $\cos \alpha = -\frac{15}{17}$.

   Resposta: 8/17

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Sabe-se que $\operatorname{sen}\alpha = \frac{4}{5}$ e que $\alpha \in \left]\frac{\pi}{2}, \pi\right[$.
   
   Qual é o valor de $\cos\alpha$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-\frac{9}{25}$
   2. $\frac{4}{5}$
   3. $\frac{3}{5}$
   4. $-\frac{3}{5}$
   Resolução

   1. Fórmula fundamental:
      $\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$
   2. No 2.º quadrante: o cosseno é negativo:
      $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$

   Resposta: D. $-\frac{3}{5}$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2 + 3\,\cos(\frac{1}{2}x)$. Qual é o valor máximo de $f$?
   Resolução

   1. $-1 \leq \cos(\frac{1}{2}x) \leq 1$.
   2. Logo $f$ varia entre $-2 - 3$ e $-2 + 3$:
      $\max f = 1$

   Resposta: 1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Sabe-se que $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$ e que $\alpha \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$.
   
   Qual é o valor de $\operatorname{sen}\alpha$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-\frac{4}{5}$
   2. $-\frac{3}{5}$
   3. $-\frac{9}{25}$
   4. $\frac{3}{5}$
   Resolução

   1. Fórmula fundamental:
      $\operatorname{sen}^2\alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$
   2. No 3.º quadrante: o seno é negativo:
      $\operatorname{sen}\alpha = -\frac{3}{5}$

   Resposta: B. $-\frac{3}{5}$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   A distância, em decímetros, de um ponto de uma mola oscilante a um sensor, $t$ segundos depois de se iniciar a medição, é dada por $d(t) = 7 + 2 \cos\left(\frac{\pi t}{8}\right)$, com $t \geq 0$. Qual é o período da função $d$?
   Resolução

   1. Período de $\cos(ct)$: $\frac{2\pi}{c}$, com $c = \frac{\pi}{8}$:
      $P = 2\pi \times \frac{8}{\pi} = 16$

   Resposta: 16

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Sabe-se que $\operatorname{sen}\alpha = -\frac{8}{17}$ e que $\alpha \in \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$.
   
   Qual é o valor de $\cos\alpha$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $\frac{15}{17}$
   2. $-\frac{8}{17}$
   3. $-\frac{15}{17}$
   4. $-\frac{225}{289}$
   Resolução

   1. Fórmula fundamental:
      $\cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = \frac{225}{289}$
   2. No 3.º quadrante: o cosseno é negativo:
      $\cos\alpha = -\frac{15}{17}$

   Resposta: C. $-\frac{15}{17}$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = 5 + 3\,\operatorname{sen}(3x)$. Qual é o valor máximo de $f$?
   Resolução

   1. $-1 \leq \operatorname{sen}(3x) \leq 1$.
   2. Logo $f$ varia entre $5 - 3$ e $5 + 3$:
      $\max f = 8$

   Resposta: 8

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Converteu radianos em graus usando 2π = 180° (ou π = 360°).

  Um ângulo tem $\frac{7\pi}{6}$ rad de amplitude. Qual é a sua amplitude em graus?

  Resposta errada: 420 Certa: 210

  π rad corresponde a 180° (não a 360°).

• Errou o sinal da razão trigonométrica para o quadrante do ângulo.

  Sabe-se que $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ e que $\alpha \in \left]\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$.
  
  Qual é o valor de $\operatorname{sen}\alpha$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: B. $\frac{4}{5}$ Certa: A. $-\frac{4}{5}$

  O valor absoluto está certo, mas no 4.º quadrante: o seno é negativo.

• Trocou seno e cosseno (indicou a razão dada em vez da pedida).

  Sabe-se que $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ e que $\alpha \in \left]\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$.
  
  Qual é o valor de $\operatorname{sen}\alpha$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: D. $\frac{3}{5}$ Certa: A. $-\frac{4}{5}$

  Esse é o valor de cos α (o dado), não o de sen α.

• Na fórmula fundamental, esqueceu a raiz quadrada (deu o quadrado da razão).

  Sabe-se que $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ e que $\alpha \in \left]\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right[$.
  
  Qual é o valor de $\operatorname{sen}\alpha$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: C. $-\frac{16}{25}$ Certa: A. $-\frac{4}{5}$

  $\frac{16}{25}$ é o quadrado de sen α; falta a raiz.

• Calculou a tangente como cosseno/seno.

  Sabe-se que $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ e que $\alpha$ pertence ao 4.º quadrante. Qual é o valor de $\operatorname{tg} \alpha$?

  Resposta errada: -2,4 Certa: -5/12

  $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos \alpha}$.

• Usou b em vez de |b| no máximo/mínimo de a + b·sen(…), ou esqueceu o valor médio a.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2 + 3\,\cos(\frac{1}{2}x)$. Qual é o valor máximo de $f$?

  Resposta errada: 3 Certa: 1

  Falta somar o valor médio -2: o máximo é $a \pm |b|$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Conhecer a unidade de medida radiano. p. 13
• Utilizar o círculo trigonométrico, na redução ao primeiro quadrante, na dedução da fórmula fundamental da Trigonometria e na resolução de problemas. p. 13
• Reconhecer, analisar e aplicar, na resolução de problemas, razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de ângulos generalizados no círculo trigonométrico. p. 13
• Identificar fenómenos periódicos e usar os conceitos de período, máximo, mínimo, amplitude e frequência, no estudo dos fenómenos periódicos. p. 14
• Resolver problemas variados, ligados a situações concretas, que permitam recordar e aplicar métodos trigonométricos estudados no 3.º ciclo do EB, na resolução de triângulos retângulos e não retângulos. p. 13

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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