Ângulo ao centro e ângulo inscrito; polígonos regulares inscritos

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de ângulo ao centro e ângulo inscrito; polígonos regulares inscritos, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Numa circunferência, o arco $AB$ (menor) tem $136^\circ$ de amplitude e o ponto $C$ está no arco maior $AB$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo inscrito $ACB$?
   Resolução

   1. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
      $\widehat{ACB} = \frac{136^\circ}{2} = 68^\circ$

   Resposta: 68°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Numa circunferência, o arco $AB$ (menor) tem $160^\circ$ de amplitude e o ponto $C$ está no arco maior $AB$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo inscrito $ACB$?
   Resolução

   1. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
      $\widehat{ACB} = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ$

   Resposta: 80°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Numa circunferência de centro $O$, o ângulo ao centro $AOB$ mede $46^\circ$. O ponto $C$ pertence ao arco maior $AB$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo inscrito $ACB$?
   Resolução

   1. A amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude do arco compreendido entre os seus lados.
      $\widehat{ACB} = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$

   Resposta: 23°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   A reta $t$ é tangente no ponto $T$ à circunferência de centro $O$. O ponto $P$ pertence a $t$ e $T\hat{O}P = 55^\circ$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $O\hat{P}T$?
   Resolução

   1. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
      $O\hat{T}P = 90^\circ$
   2. Soma dos ângulos internos do triângulo OTP.
      $180^\circ - 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$

   Resposta: 35°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 3

   A reta $t$ é tangente no ponto $T$ à circunferência de centro $O$. O ponto $P$ pertence a $t$ e $T\hat{O}P = 20^\circ$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $O\hat{P}T$?
   Resolução

   1. A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
      $O\hat{T}P = 90^\circ$
   2. Soma dos ângulos internos do triângulo OTP.
      $180^\circ - 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$

   Resposta: 70°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   $[AB]$ é um diâmetro de uma circunferência e $C$ é outro ponto da circunferência. Se $C\hat{A}B = 51^\circ$, qual é a amplitude, em graus, de $C\hat{B}A$?
   Resolução

   1. O arco AB é uma semicircunferência (180°), por isso o ângulo inscrito ACB mede 90°.
      $A\hat{C}B = 90^\circ$
   2. Soma dos ângulos internos do triângulo ABC.
      $180^\circ - 90^\circ - 51^\circ = 39^\circ$

   Resposta: 39°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   $[AB]$ é um diâmetro de uma circunferência e $C$ é outro ponto da circunferência. Se $C\hat{A}B = 68^\circ$, qual é a amplitude, em graus, de $C\hat{B}A$?
   Resolução

   1. O arco AB é uma semicircunferência (180°), por isso o ângulo inscrito ACB mede 90°.
      $A\hat{C}B = 90^\circ$
   2. Soma dos ângulos internos do triângulo ABC.
      $180^\circ - 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$

   Resposta: 22°

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Achou que o ângulo inscrito tem a mesma amplitude do ângulo ao centro (ou do arco).

  Numa circunferência, o arco $AB$ (menor) tem $86^\circ$ de amplitude e o ponto $C$ está no arco maior $AB$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo inscrito $ACB$?

  Resposta errada: 86 degree Certa: 43°

  O ângulo inscrito tem metade da amplitude do arco (e do ângulo ao centro) correspondente.

• Trocou a relação: fez o inscrito igual ao dobro do ângulo ao centro.

  Numa circunferência, o arco $AB$ (menor) tem $86^\circ$ de amplitude e o ponto $C$ está no arco maior $AB$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo inscrito $ACB$?

  Resposta errada: 172 degree Certa: 43°

  É ao contrário: o ângulo ao centro é que é o dobro do inscrito.

• Não usou que o raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência.

  A reta $t$ é tangente no ponto $T$ à circunferência de centro $O$. O ponto $P$ pertence a $t$ e $T\hat{O}P = 55^\circ$. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo $O\hat{P}T$?

  Resposta errada: 125 degree Certa: 35°

  No triângulo OTP, o ângulo em T é reto (raio ⟂ tangente): 180° − 90° − x.

• Não reconheceu que o ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

  $[AB]$ é um diâmetro de uma circunferência e $C$ é outro ponto da circunferência. Se $C\hat{A}B = 51^\circ$, qual é a amplitude, em graus, de $C\hat{B}A$?

  Resposta errada: 129 degree Certa: 39°

  O ângulo ACB é inscrito numa semicircunferência, logo é reto: sobram 90° − x.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática, 9.º ano.

• Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito com a do ângulo ao centro com o mesmo arco associado. p. 36
• Relacionar a amplitude de um ângulo inscrito com a do arco associado. p. 36
• Reconhecer a tangente à circunferência como a perpendicular ao raio da circunferência no ponto de tangência. p. 36
• Construir polígonos regulares inscritos numa circunferência relacionando as medidas dos lados com as medidas dos comprimentos e das amplitudes dos arcos, e das respetivas amplitudes dos ângulos ao centro. p. 37

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática, 9.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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