Funções polinomiais de grau não superior a 2

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de funções polinomiais de grau não superior a 2, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2(x - 2)(x - 4)$. Qual é o maior zero de $f$?
   Resolução

   1. Lei do anulamento do produto:
      $x = 2 \vee x = 4$
   2. O maior é 4.

   Resposta: 4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -(x + 4)(x - 2)$. Qual é o maior zero de $f$?
   Resolução

   1. Lei do anulamento do produto:
      $x = -4 \vee x = 2$
   2. O maior é 2.

   Resposta: 2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2 + 2x + 8$. Qual é o contradomínio de $f$?
   1. $[-1, +\infty[$
   2. $]-\infty, -1]$
   3. $]-\infty, 7]$
   4. $[7, +\infty[$
   Resolução

   1. Abcissa do vértice:
      $x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times (1)} = -1$
   2. Ordenada do vértice:
      $f(-1) = 7$
   3. Com $a = 1$, a concavidade está voltada para cima: $D'_f = [7, +\infty[$.

   Resposta: D. $[7, +\infty[$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -x^2 + 8x - 11$. Qual é o valor máximo de $f$?
   Resolução

   1. Como $a = -1$ < 0, a concavidade está voltada para baixo: $f$ tem um máximo no vértice.
   2. Abcissa do vértice:
      $x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \times (-1)} = 4$
   3. Ordenada do vértice:
      $f(4) = 5$

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Seja $f$ a função, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^2$, e seja $g$ a função definida por $g(x) = 2f(x + 2) + 4$. Qual é a abcissa do vértice da parábola que representa $g$?
   Resolução

   1. O vértice de $y = x^2$ é $(0, 0)$.
   2. $f(x - a) + b$ desloca o gráfico $a$ unidades na horizontal e $b$ na vertical (a multiplicação por 2 não muda o vértice).
      $V = (-2, 4)$

   Resposta: -2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2x^2 + 12x - 10$. Qual é o maior zero de $f$?
   Resolução

   1. Fatoriza (ou usa a fórmula resolvente):
      $f(x) = -2(x - 1)(x - 5)$
   2. Lei do anulamento do produto:
      $x = 1 \vee x = 5$
   3. O maior é 5.

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Quantos números inteiros satisfazem a inequação $-3x^2 - 6x + 24 > 0$?
   Resolução

   1. Zeros:
      $x = -4 \vee x = 2$
   2. Com $a = -3$, a expressão é positiva entre os zeros:
      $]-4, 2[$
   3. Inteiros: de -3 a 1, ou seja, 5.

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Em a(x − h)² + k, tomou −h para abcissa do vértice (trocou o sinal).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x + 2)^2 - 1$. Qual é o valor mínimo de $f$?

  Resposta errada: 1 Certa: -1

  O extremo é a ordenada do vértice, $k$, com o seu sinal.

• Deu a abcissa do vértice quando se pedia o valor do extremo (a ordenada).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x + 2)^2 - 1$. Qual é o valor mínimo de $f$?

  Resposta errada: -2 Certa: -1

  -2 é onde o mínimo é atingido (abcissa do vértice); o valor mínimo é $f(-2)$.

• Trocou o sinal do zero: de (x − r) tirou x = −r.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x - 1)(x - 4)$. Qual é o maior zero de $f$?

  Resposta errada: -4 Certa: 4

  De $x - 4 = 0$ vem $x = 4$.

• Escreveu o contradomínio com a abcissa do vértice em vez da ordenada.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2(x + 2)^2 - 4$. Qual é o contradomínio de $f$?

  Resposta errada: A. $]-\infty, -2]$ Certa: D. $]-\infty, -4]$

  O contradomínio é um conjunto de imagens: usa a ordenada do vértice (-4), não a abcissa (-2).

• Trocou o sentido da concavidade: com a < 0 a parábola tem a concavidade voltada para baixo (máximo).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = -2(x + 2)^2 - 4$. Qual é o contradomínio de $f$?

  Resposta errada: B. $[-4, +\infty[$ Certa: D. $]-\infty, -4]$

  Com $a = -2$, a concavidade está voltada para baixo.

• Numa inequação estrita, contou também os zeros (onde a expressão é 0).

  Quantos números inteiros satisfazem a inequação $-3x^2 - 6x + 24 > 0$?

  Resposta errada: 7 Certa: 5

  A desigualdade é estrita: -4 e 2 anulam a expressão e não contam.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• Estudar gráfica e analiticamente a função afim em termos de zeros, sinal e monotonia. p. 36
• Estudar famílias de funções quadráticas relativamente ao sentido das concavidades do seu gráfico, eixo de simetria, contradomínio, zeros, sinal, monotonia e extremos, gráfica e analiticamente. p. 36
• Resolver equações e inequações do 2.º grau, em contextos de resolução de problemas. p. 37

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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