Taxa de variação e derivada

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de taxa de variação e derivada, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Seja $f$ a função definida por $f(x) = 2x^2 - 3x - 6$.
   
   Qual é o valor de $f'(1)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-1$
   2. $-7$
   3. $1$
   4. $-5$
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = 4x - 3$
   2. Em $x = 1$:
      $f'(1) = 1$

   Resposta: C. $1$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 3

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^3 - 48x - 2$. Qual é o minimizante de $f$ (abcissa do ponto onde $f$ tem mínimo relativo)?
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = 3x^2 - 48$
   2. Zeros da derivada:
      $x = -4 \lor x = 4$
   3. Pelo sinal de $f'$, o minimizante é 4.

   Resposta: 4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Considera a função $f$ definida por $f(x) = -2x^3 - x^2 + 2x + 2$. Qual é o valor de $f'(-3)$?
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = -6x^2 - 2x + 2$
   2. Substitui:
      $f'(-3) = -46$

   Resposta: -46

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Seja $f$ a função definida por $f(x) = 2x^2 + 1x + 7$.
   
   Qual é o valor de $f'(3)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $20$
   2. $7$
   3. $28$
   4. $13$
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = 4x + 1$
   2. Em $x = 3$:
      $f'(3) = 13$

   Resposta: D. $13$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Considera a função $f$ definida por $f(x) = -2x^3 + 4x^2 + 2x - 2$. Qual é a taxa média de variação de $f$ no intervalo $[1, 3]$?
   Resolução

   1. $t.m.v._{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
   2. Calcula:
      $\frac{-14 - (2)}{3 - (1)} = -8$

   Resposta: -8

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Seja $f$ a função definida por $f(x) = 2x^2 + 1x - 7$.
   
   Qual é o valor de $f'(1)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-2$
   2. $3$
   3. $5$
   4. $-4$
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = 4x + 1$
   2. Em $x = 1$:
      $f'(1) = 5$

   Resposta: C. $5$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Considera a função $f$ definida por $f(x) = 3x^3 + 5x^2 + x$. Qual é o valor de $f'(-3)$?
   Resolução

   1. Derivada:
      $f'(x) = 9x^2 + 10x + 1$
   2. Substitui:
      $f'(-3) = 52$

   Resposta: 52

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Na taxa média de variação, não dividiu por (b − a).

  Considera a função $f$ definida por $f(x) = 2x^2 - 3x + 3$. Qual é a taxa média de variação de $f$ no intervalo $[-1, 3]$?

  Resposta errada: 4 Certa: 1

  Divide pela amplitude do intervalo, 3 − (-1) = 4.

• Calculou (b − a)/(f(b) − f(a)).

  Considera a função $f$ definida por $f(x) = -2x^3 + 4x^2 + 2x - 2$. Qual é a taxa média de variação de $f$ no intervalo $[1, 3]$?

  Resposta errada: -1/8 Certa: -8

  $t.m.v. = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

• Ao derivar xⁿ, não multiplicou pelo expoente.

  Considera a função $f$ definida por $f(x) = -2x^2 - 4x - 1$. Qual é o valor de $f'(2)$?

  Resposta errada: -8 Certa: -12

  Ao derivar $x^n$ obtém-se $n x^{n-1}$ (multiplica pelo expoente).

• Ao derivar, manteve o termo constante.

  Seja $f$ a função definida por $f(x) = 4x^2 - 6x - 5$.
  
  Qual é o valor de $f'(1)$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: C. $-3$ Certa: A. $2$

  A derivada de uma constante (-5) é 0.

• Calculou f(a) em vez de f'(a).

  Considera a função $f$ definida por $f(x) = -2x^2 - 4x - 1$. Qual é o valor de $f'(2)$?

  Resposta errada: -17 Certa: -12

  Isso é $f(2)$; pede-se $f'(2)$.

• Indicou o maximizante quando se pedia o minimizante (ou o contrário).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^3 - 48x - 2$. Qual é o minimizante de $f$ (abcissa do ponto onde $f$ tem mínimo relativo)?

  Resposta errada: -4 Certa: 4

  Faz o quadro de sinal de $f'$: onde $f'$ passa de − para + há um mínimo.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Determinar a taxa média de variação de uma função num intervalo p. 30
• Identificar a derivada de uma dada função num ponto com o declive da reta tangente ao gráfico nesse ponto. p. 30
• Aplicar regras de derivação (adição, subtração, multiplicação, divisão, potências com expoente natural) para obter a função derivada. p. 31
• Estudar a monotonia e existência de extremos de uma função com derivada finita em todos os pontos do seu domínio, tendo por base o sinal e os zeros da sua derivada. p. 31
• Resolver problemas de otimização de modelação matemática, em casos simples, no contexto da vida real. p. 31
• Calcular a derivada de monómios, de grau não superior a 3, utilizando o limite da razão incremental de uma função num ponto genérico. p. 31

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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