Funções polinomiais, divisão e teorema do resto

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de funções polinomiais, divisão e teorema do resto, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 1

   Considera o polinómio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 2$. Na divisão de $P(x)$ por $x - 1$, qual é o coeficiente de $x$ do quociente?
   Resolução

   1. Regra de Ruffini com $a = 1$: coeficientes do quociente
      $2, 5, 0$
   2. Resto: -2.

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Considera o polinómio $P(x) = 2(x - 1)^3(x + 1)$. Qual é a multiplicidade da raiz $1$?
   Resolução

   1. O fator $(x - 1)$ tem expoente 3: a raiz 1 tem multiplicidade 3.

   Resposta: 3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Considera o polinómio $P(x) = -(x - 1)^3(x + 1)$. Qual é a multiplicidade da raiz $1$?
   Resolução

   1. O fator $(x - 1)$ tem expoente 3: a raiz 1 tem multiplicidade 3.

   Resposta: 3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Considera o polinómio $P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 5x - 1$. Qual é o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 2$?
   Resolução

   1. Teorema do resto: o resto da divisão de $P(x)$ por $x - a$ é $P(a)$.
   2. Calcula:
      $P(-2) = -15$

   Resposta: -15

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 3

   Considera o polinómio $P(x) = -(x - 4)^2(x + 1)$. Qual é a multiplicidade da raiz $4$?
   Resolução

   1. O fator $(x - 4)$ tem expoente 2: a raiz 4 tem multiplicidade 2.

   Resposta: 2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Considera o polinómio $P(x) = -x^4 + 2x^3 + 4x^2 - 5x - 3$. Na divisão de $P(x)$ por $x + 2$, qual é o termo independente do quociente?
   Resolução

   1. Regra de Ruffini com $a = -2$: coeficientes do quociente
      $-1, 4, -4, 3$
   2. Resto: -9.

   Resposta: 3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Considera o polinómio $P(x) = 3x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 3$. Na divisão de $P(x)$ por $x + 2$, qual é o termo independente do quociente?
   Resolução

   1. Regra de Ruffini com $a = -2$: coeficientes do quociente
      $3, -9, 15, -30$
   2. Resto: 63.

   Resposta: -30

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Para dividir por x − a, calculou P(−a) em vez de P(a).

  Considera o polinómio $P(x) = 2x^3 - 2x^2 - 5x - 1$. Qual é o resto da divisão de $P(x)$ por $x + 2$?

  Resposta errada: -3 Certa: -15

  O resto da divisão por $x + 2$ é $P(-2)$, não $P(2)$.

• Na regra de Ruffini, subtraiu em vez de somar (ou multiplicou pelo valor errado).

  Considera o polinómio $P(x) = 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2$. Na divisão de $P(x)$ por $x - 3$, qual é o termo independente do quociente?

  Resposta errada: 13 Certa: 31

  Na regra de Ruffini para $x - 3$, multiplica-se por 3 e soma-se.

• Confundiu a multiplicidade da raiz com o grau do polinómio.

  Considera o polinómio $P(x) = -(x + 3)^2(x - 4)$. Qual é a multiplicidade da raiz $-3$?

  Resposta errada: 3 Certa: 2

  A multiplicidade é o expoente do fator $(x - a)$ correspondente, não o grau do polinómio.

• Indicou um coeficiente do quociente em vez do resto.

  Considera o polinómio $P(x) = 3x^3 + 3x^2 - 5x + 2$. Na divisão de $P(x)$ por $x - 3$, qual é o termo independente do quociente?

  Resposta errada: 95 Certa: 31

  Esse é o resto; pede-se um coeficiente do quociente.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano.

• Conhecer o teorema do resto. p. 28
• Utilizar a regra de Ruffini/algoritmo de Horner para determinar o quociente e o resto duma divisão de um polinómio por uma expressão do tipo p. 28
• Conhecer o conceito de multiplicidade de uma raiz de um polinómio. p. 28
• Reconhecer que para funções polinomiais de grau ímpar existe sempre pelo menos um zero real. p. 28

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 11.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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