Derivadas: regra da cadeia, segunda derivada e concavidades

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Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de derivadas: regra da cadeia, segunda derivada e concavidades, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 7 · nível 1

   Seja $f$ a função definida por $f(x) = (3x + 2)^{2}$.
   
   Qual é o valor de $f'(-1)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-6$
   2. $-2$
   3. $-3$
   4. $1$
   Resolução

   1. Regra da cadeia:
      $f'(x) = 2(3x + 2)^{1} \times (3)$
   2. Em $x = -1$:
      $f'(-1) = -6$

   Resposta: A. $-6$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 8 · nível 1

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = \cos(3x^2 + 2)$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).
   Resolução

   1. $(\cos u)' = -u' \operatorname{sen} u$
   2. $f'(x) = -6x \operatorname{sen}(3x^2 + 2)$

   Resposta: -6x sen(3x^2 + 2)

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 9 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (-2x + 2)^{4}$. Qual é o valor de $f'(2)$?
   Resolução

   1. Regra da cadeia:
      $f'(x) = 4 \times -2\,(-2x + 2)^{3}$
   2. f'(2) = 64

   Resposta: 64

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 10 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x^2 + 1) e^x$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).
   Resolução

   1. Derivada do produto:
      $(uv)' = u'v + uv'$
   2. $f'(x) = 2x e^x + (x^2 + 1) e^x = (x^2 + 2x + 1)e^x$

   Resposta: (x^2 + 2x + 1)e^x

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 11 · nível 2

   Seja $f$ a função definida por $f(x) = (-2x - 3)^{3}$.
   
   Qual é o valor de $f'(0)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $27$
   2. $-27$
   3. $-18$
   4. $-54$
   Resolução

   1. Regra da cadeia:
      $f'(x) = 3(-2x - 3)^{2} \times (-2)$
   2. Em $x = 0$:
      $f'(0) = -54$

   Resposta: D. $-54$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 12 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = \cos(4x^2 - 2)$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).
   Resolução

   1. $(\cos u)' = -u' \operatorname{sen} u$
   2. $f'(x) = -8x \operatorname{sen}(4x^2 - 2)$

   Resposta: -8x sen(4x^2 - 2)

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 13 · nível 4

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x + 2)(x^2 + 1)$. Qual é o valor de $f'(-1)$?
   Resolução

   1. Derivada do produto:
      $f'(x) = (x^2 + 1) + (x + 2) \times 2x$
   2. f'(-1) = 0

   Resposta: 0

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Esqueceu a regra da cadeia (não multiplicou pela derivada da função interior).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = e^{-2x + 1}$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: e^(-2x + 1) Certa: -2e^(-2x + 1)

  $(e^u)' = u' e^u$; aqui $u' = -2$.

• Derivou um produto como o produto das derivadas.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (x - 1)(x^2 - 3)$. Qual é o valor de $f'(-2)$?

  Resposta errada: -4 Certa: 13

  $(uv)' = u'v + uv'$, não $u'v'$.

• Na derivada de uma potência, não baixou o expoente uma unidade.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = (4x + 1)^{3}$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: 12(4x + 1)^3 Certa: 12(4x + 1)^2

  Na derivada de $u^{3}$ o expoente desce uma unidade: $u^{2}$.

• Derivou uma exponencial (e^u ou a^x) como se fosse uma potência de expoente fixo.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = e^{-2x + 1}$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: (-2x + 1)e^(-2x + 1 - 1) Certa: -2e^(-2x + 1)

  $e^u$ não é uma potência de expoente fixo: $(e^u)' = u'e^u$.

• Esqueceu o fator ln a na derivada de a^u.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = 10^{x}$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: 10^(x) Certa: 10^(x)ln(10)

  $(a^u)' = u' a^u \ln a$: falta o fator $\ln 10$.

• Trocou o sinal na derivada de uma função trigonométrica ((sen u)' = u' cos u, (cos u)' = −u' sen u).

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = \cos(3x^2 + 2)$. Determina $f'(x)$. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: 6x sen(3x^2 + 2) Certa: -6x sen(3x^2 + 2)

  $(\cos u)' = -u' \operatorname{sen} u$: falta o sinal menos.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano.

• Conhecer o teorema da derivada da função composta (Regra da Cadeia). p. 26
• Determinar derivadas envolvendo operações com as funções estudadas anteriormente, em casos simples. p. 27
• Relacionar o sinal e os zeros da segunda derivada com o sentido das concavidades e pontos de inflexão do gráfico de uma função. p. 27
• Resolver problemas de otimização tendo por base funções deriváveis. p. 27

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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