Resolução aproximada de equações

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de resolução aproximada de equações, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 1

   Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 - 2x - 1$, com aproximação inicial $x_0 = 3$. Qual é o valor de $x_1$?
   Resolução

   1. $f(3) = 20$, $f'(x) = 3x^2 - 2$, $f'(3) = 25$.
   2. x_1 = 3 - \frac{20}{25} = \frac{11}{5}

   Resposta: 2,2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Pretende-se aproximar a raiz positiva da equação $x^2 = 6$ pelo método da bisseção, aplicado a $f(x) = x^2 - 6$ no intervalo $[2, 3]$. O 1.º ponto médio é $2{,}5$. Qual é o ponto médio obtido na 2.ª iteração?
   Resolução

   1. Iteração 1: ponto médio $2{,}5$.
   2. Iteração 2: ponto médio $2{,}25$.

   Resposta: 2,25

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 - x$, com aproximação inicial $x_0 = 2$. Qual é o valor de $x_1$?
   Resolução

   1. $f(2) = 6$, $f'(x) = 3x^2 - 1$, $f'(2) = 11$.
   2. x_1 = 2 - \frac{6}{11} = \frac{16}{11}

   Resposta: 16/11

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 + 2x - 6$, com aproximação inicial $x_0 = 2$. Qual é o valor de $x_1$?
   Resolução

   1. $f(2) = 6$, $f'(x) = 3x^2 + 2$, $f'(2) = 14$.
   2. x_1 = 2 - \frac{6}{14} = \frac{11}{7}

   Resposta: 11/7

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 3

   Pretende-se aproximar a raiz positiva da equação $x^2 = 10$ pelo método da bisseção, aplicado a $f(x) = x^2 - 10$ no intervalo $[3, 4]$. O 1.º ponto médio é $3{,}5$. Qual é o ponto médio obtido na 4.ª iteração?
   Resolução

   1. Iteração 1: ponto médio $3{,}5$.
   2. Iteração 2: ponto médio $3{,}25$.
   3. Iteração 3: ponto médio $3{,}125$.
   4. Iteração 4: ponto médio $3{,}1875$.

   Resposta: 51/16

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 + 2x - 4$, com aproximação inicial $x_0 = 1$. Qual é o valor de $x_1$?
   Resolução

   1. $f(1) = -1$, $f'(x) = 3x^2 + 2$, $f'(1) = 5$.
   2. x_1 = 1 - \frac{-1}{5} = \frac{6}{5}

   Resposta: 1,2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 + x$, com aproximação inicial $x_0 = 3$. Qual é o valor de $x_1$?
   Resolução

   1. $f(3) = 30$, $f'(x) = 3x^2 + 1$, $f'(3) = 28$.
   2. x_1 = 3 - \frac{30}{28} = \frac{27}{14}

   Resposta: 27/14

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Na bisseção, ficou com o subintervalo onde não há mudança de sinal.

  Pretende-se aproximar a raiz positiva da equação $x^2 = 6$ pelo método da bisseção, aplicado a $f(x) = x^2 - 6$ no intervalo $[2, 3]$. O 1.º ponto médio é $2{,}5$. Qual é o ponto médio obtido na 2.ª iteração?

  Resposta errada: 2,75 Certa: 2,25

  Fica com o subintervalo onde $f$ muda de sinal.

• Fez uma iteração a mais ou a menos.

  Pretende-se aproximar a raiz positiva da equação $x^2 = 6$ pelo método da bisseção, aplicado a $f(x) = x^2 - 6$ no intervalo $[2, 3]$. O 1.º ponto médio é $2{,}5$. Qual é o ponto médio obtido na 2.ª iteração?

  Resposta errada: 2,5 Certa: 2,25

  Conta as iterações: o 1.º ponto médio é o do intervalo inicial.

• No método de Newton, somou f(x₀)/f'(x₀) em vez de subtrair.

  Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 - 3x + 3$, com aproximação inicial $x_0 = 3$. Qual é o valor de $x_1$?

  Resposta errada: 31/8 Certa: 17/8

  $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ (subtrai).

• No método de Newton, usou f'(x₀)/f(x₀).

  Aplica-se o método de Newton-Raphson à função $f(x) = x^3 - 3x + 3$, com aproximação inicial $x_0 = 3$. Qual é o valor de $x_1$?

  Resposta errada: 13/7 Certa: 17/8

  A fração é $\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano.

• Conhecer e aplicar o método da Bisseção. p. 29
• Conhecer e aplicar o método de Newton-Raphson. p. 30
• Conhecer o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy). p. 29

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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