Funções exponenciais e logarítmicas

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de funções exponenciais e logarítmicas, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 1

   Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log_{3} b = 3$ e $\log_{3} c = 2$.
   
   Qual é o valor de $\log_{3}(b \times c)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $6$
   2. $\frac{1}{5}$
   3. $5$
   4. $1$
   Resolução

   1. Logaritmo do produto:
      $\log_{3}(bc) = \log_{3} b + \log_{3} c$
   2. Substitui:
      $3 + (2) = 5$

   Resposta: C. $5$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Resolve, em $\mathbb{R}$, a equação $5^{3x - 1} = 625$.
   Resolução

   1. $625 = 5^{4}$, logo $3x - 1 = 4$.
   2. x = \frac{5}{3}

   Resposta: 5/3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Simplifica a expressão $\log_{3}\left(81 \times 3^{2x}\right)$, com $x \in \mathbb{R}$. Apresenta o resultado na forma mais simples. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).
   Resolução

   1. Logaritmo do produto:
      $\log_{3} 81 + \log_{3} 3^{2x} = 4 + 2x$

   Resposta: 2x + 4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 2

   Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log b = 5$ e $\log c = -3$.
   
   Qual é o valor de $\log(b \times c)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-15$
   2. $\frac{1}{2}$
   3. $2$
   4. $8$
   Resolução

   1. Logaritmo do produto:
      $\log(bc) = \log b + \log c$
   2. Substitui:
      $5 + (-3) = 2$

   Resposta: C. $2$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 3

   Resolve, em $\mathbb{R}$, a equação $2^{x} = 64$.
   Resolução

   1. $64 = 2^{6}$, logo $x = 6$.
   2. x = 6

   Resposta: 6

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 3

   Simplifica a expressão $\ln\left(e^{-2x}\right) - \ln\left(e^{3}\right)$, com $x \in \mathbb{R}$. Apresenta o resultado na forma mais simples. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).
   Resolução

   1. $\ln(e^u) = u$:
      $(-2x) - 3 = -2x - 3$

   Resposta: -2x - 3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 3

   Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log_{5} b = 3$ e $\log_{5} c = 3$.
   
   Qual é o valor de $\log_{5}(b \times c)$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $9$
   2. $6$
   3. $0$
   4. $\frac{1}{6}$
   Resolução

   1. Logaritmo do produto:
      $\log_{5}(bc) = \log_{5} b + \log_{5} c$
   2. Substitui:
      $3 + (3) = 6$

   Resposta: B. $6$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Usou log(a·b) = log a · log b (ou log(a + b) = log a + log b).

  Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log b = 5$ e $\log c = 2$.
  
  Qual é o valor de $\log(b \times c)$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: A. $10$ Certa: C. $7$

  O logaritmo de um produto é a SOMA dos logaritmos, não o produto.

• Trocou a base e o argumento do logaritmo.

  Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log b = 5$ e $\log c = 2$.
  
  Qual é o valor de $\log(b \times c)$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: B. $\frac{1}{7}$ Certa: C. $7$

  $\frac{1}{7}$ seria o logaritmo de 10 na base $bc$ (base e argumento trocados).

• Ao igualar potências da mesma base, errou a equação dos expoentes.

  Resolve, em $\mathbb{R}$, a equação $5^{3x - 1} = 625$.

  Resposta errada: 1 Certa: 5/3

  Ao passar $c$ para o outro membro, troca o sinal.

• Não verificou o domínio (argumento do logaritmo positivo).

  Resolve, em $\mathbb{R}$, a equação $\log_{2} x + \log_{2}(x - 7) = 3$. Se houver mais do que uma solução, indica-as todas.

  Resposta errada: -1 Certa: 8

  $x = -1$ não pertence ao domínio: $\log_{2} x$ exige $x > 0$.

• Confundiu a regra do logaritmo do produto com a do quociente (subtraiu em vez de somar, ou o contrário).

  Sejam $b$ e $c$ números reais positivos tais que $\log b = 5$ e $\log c = 2$.
  
  Qual é o valor de $\log(b \times c)$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: D. $3$ Certa: C. $7$

  A diferença dos logaritmos dá o logaritmo do quociente $b/c$.

• Não usou que a exponencial e o logaritmo da mesma base são inversas (e^(ln y) = y, log_a(a^k) = k).

  Simplifica a expressão $e^{3\ln x}$, com $x > 0$. Apresenta o resultado na forma mais simples. Escreve a expressão em $x$ (por exemplo, `3x^2 sen(x)`, `e^(2x)`, `ln(x)`, `sqrt(x)`; também podes usar `sen` e `tg`).

  Resposta errada: 3x Certa: x^3

  $e^{3\ln x} = e^{\ln x^{3}} = x^{3}$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano.

• Identificar a função logarítmica como a inversa da função exponencial com a mesma base. p. 25
• Conhecer e aplicar as propriedades e regras operatórias dos logaritmos, em casos simples, e em contexto de resolução de problemas e de modelação. p. 25
• Resolver equações, envolvendo funções exponenciais e funções logarítmicas, em contexto de resolução de problemas, tanto analiticamente como graficamente. p. 25

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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