Continuidade, limites e assíntotas

Experimenta

3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de continuidade, limites e assíntotas, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x + k$ se $x < -1$ e $f(x) = x^2 + 3$ se $x \geq -1$, com $k \in \mathbb{R}$. Qual é o valor de $k$ para o qual $f$ é contínua em $x = -1$?
   Resolução

   1. $f(-1) = 4$ e $\lim_{x \to -1^-} f(x) = -1 + k$.
   2. k = 5

   Resposta: 5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 4x - 5}{x - 1}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $6$
   2. $-6$
   3. $1$
   4. $0$
   Resolução

   1. Fatoriza o numerador:
      $x^2 + 4x - 5 = (x - (1))(x - (-5))$
   2. Simplifica e substitui:
      $\lim_{x \to 1} (x - (-5)) = 6$

   Resposta: A. $6$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Qual é o valor de $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2}$?
   Resolução

   1. Indeterminação $\frac{0}{0}$: $x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)$.
   2. \lim = 2 - (-4) = 6

   Resposta: 6

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x + 3}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $5$
   2. $-5$
   3. $1$
   4. $0$
   Resolução

   1. Fatoriza o numerador:
      $x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - (2))$
   2. Simplifica e substitui:
      $\lim_{x \to -3} (x - (2)) = -5$

   Resposta: B. $-5$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Qual é o valor de $\lim\limits_{x \to 4} \frac{x^2 - 7x + 12}{x - 4}$?
   Resolução

   1. Indeterminação $\frac{0}{0}$: $x^2 - 7x + 12 = (x - 4)(x - 3)$.
   2. \lim = 4 - (3) = 1

   Resposta: 1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 3x - 10}{x + 2}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $-7$
   2. $1$
   3. $7$
   4. $0$
   Resolução

   1. Fatoriza o numerador:
      $x^2 - 3x - 10 = (x - (-2))(x - (5))$
   2. Simplifica e substitui:
      $\lim_{x \to -2} (x - (5)) = -7$

   Resposta: A. $-7$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Qual é o valor de $\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2 + 2x}{x}$?
   Resolução

   1. Indeterminação $\frac{0}{0}$: $x^2 + 2x = (x)(x + 2)$.
   2. \lim = 0 - (-2) = 2

   Resposta: 2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Igualou o valor errado (imagem de outro ponto) ao estudar a continuidade.

  Considera a função $f$, de domínio $\mathbb{R}$, definida por $f(x) = x + k$ se $x < 3$ e $f(x) = x^2 - 2$ se $x \geq 3$, com $k \in \mathbb{R}$. Qual é o valor de $k$ para o qual $f$ é contínua em $x = 3$?

  Resposta errada: 7 Certa: 4

  Iguala os limites em $x = 3$: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 1\times(3) + k$.

• Substituiu diretamente numa indeterminação 0/0.

  Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 2x - 15}{x + 3}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: A. $0$ Certa: D. $-8$

  Substituir dá $\frac{0}{0}$, uma indeterminação — não é 0.

• Tomou a indeterminação 0/0 como sendo igual a 1.

  Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 2x - 15}{x + 3}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: C. $1$ Certa: D. $-8$

  $\frac{0}{0}$ não vale 1: é preciso levantar a indeterminação (fatorizar).

• Ao simplificar a fração, errou o sinal do fator que sobra (x − a em vez de a − x, ou o contrário).

  Qual é o valor de $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 2x - 15}{x + 3}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: B. $8$ Certa: D. $-8$

  O fator que sobra é $x - (5)$; em $x = -3$ vale $-3 - (5)$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano.

• Reconhecer uma função contínua num ponto do seu domínio como uma função que admite limite nesse ponto igual à sua imagem. p. 27
• Determinar analiticamente as equações das assíntotas, verticais e não verticais, ao gráfico de uma função. p. 28
• Regra de L’Hôpital, usando limites notáveis ou técnicas de cálculo simples. p. 28

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 12.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

Temas relacionados