Figuras no espaço: poliedros e fórmula de Euler

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de figuras no espaço: poliedros e fórmula de euler, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Quantos vértices tem um prisma dodecagonal?
   Resolução

   1. A base é um polígono com 12 lados.
   2. 12 vértices em cada uma das 2 bases: 2 × 12 = 24.

   Resposta: 24

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Quantas arestas tem o icosaedro?
   Resolução

   1. Cada face é um polígono com 3 lados e em cada vértice concorrem 5 faces.
   2. Conta as faces, depois as arestas (cada aresta é de 2 faces) e os vértices; confirma com Euler.
      $F = 20,\ A = \frac{20 \times 3}{2} = 30,\ V = \frac{2 \times 30}{5} = 12,\ 12 - 30 + 20 = 2$

   Resposta: 30

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Um poliedro convexo tem $30$ vértices e $17$ faces. Quantas arestas tem?
   Resolução

   1. Nos poliedros convexos verifica-se a relação de Euler.
      $V - A + F = 2$
   2. Substitui os valores conhecidos e resolve.
      $A = V + F - 2 = 30 + 17 - 2 = 45$

   Resposta: 45

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 4

   Um poliedro regular tem as faces todas iguais a triângulos equiláteros e em cada vértice concorrem $5$ faces. Quantos vértices tem este poliedro?
   Resolução

   1. Cada face é um polígono com 3 lados e em cada vértice concorrem 5 faces.
   2. Conta as faces, depois as arestas (cada aresta é de 2 faces) e os vértices; confirma com Euler.
      $F = 20,\ A = \frac{20 \times 3}{2} = 30,\ V = \frac{2 \times 30}{5} = 12,\ 12 - 30 + 20 = 2$

   Resposta: 12

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Um poliedro convexo tem $30$ vértices e $45$ arestas. Quantas faces tem?
   Resolução

   1. Nos poliedros convexos verifica-se a relação de Euler.
      $V - A + F = 2$
   2. Substitui os valores conhecidos e resolve.
      $F = A - V + 2 = 45 - 30 + 2 = 17$

   Resposta: 17

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Um poliedro regular tem as faces todas iguais a triângulos equiláteros e em cada vértice concorrem $5$ faces. Quantas faces tem este poliedro?
   Resolução

   1. Cada face é um polígono com 3 lados e em cada vértice concorrem 5 faces.
   2. Conta as faces, depois as arestas (cada aresta é de 2 faces) e os vértices; confirma com Euler.
      $F = 20,\ A = \frac{20 \times 3}{2} = 30,\ V = \frac{2 \times 30}{5} = 12,\ 12 - 30 + 20 = 2$

   Resposta: 20

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Um poliedro convexo tem $32$ vértices e $48$ arestas. Quantas faces tem? Justifica com a fórmula de Euler.
   Resolução

   1. Nos poliedros convexos verifica-se a relação de Euler.
      $V - A + F = 2$
   2. Substitui os valores conhecidos e resolve.
      $F = A - V + 2 = 48 - 32 + 2 = 18$

   Resposta: 18

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Contou os vértices de uma só base do prisma.

  Quantos vértices tem um prisma heptagonal?

  Resposta errada: 7 Certa: 14

  O prisma tem duas bases com 7 vértices cada: 7 × 2 = 14.

• Contou só as faces laterais (esqueceu a(s) base(s)).

  Quantas faces tem um prisma dodecagonal?

  Resposta errada: 12 Certa: 14

  Além das 12 faces laterais, o prisma tem 2 bases: 12 + 2 = 14.

• Contou só as arestas da(s) base(s).

  Quantas arestas tem um prisma pentagonal?

  Resposta errada: 10 Certa: 15

  Contaste só as arestas das duas bases; faltam as 5 arestas laterais: 3 × 5 = 15.

• Esqueceu o vértice da pirâmide.

  Quantos vértices tem uma pirâmide dodecagonal?

  Resposta errada: 12 Certa: 13

  Falta o vértice da pirâmide (o «topo»): 12 + 1 = 13.

• Trocou o sinal do 2 na relação de Euler.

  Um poliedro convexo tem $30$ vértices e $17$ faces. Quantas arestas tem?

  Resposta errada: 49 Certa: 45

  A relação de Euler é V + F = A + 2, logo A = V + F − 2.

• Esqueceu o 2 na relação de Euler (V − A + F = 2).

  Quantas arestas tem o icosaedro?

  Resposta errada: 32 Certa: 30

  Pela relação de Euler, A = V + F − 2.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática, 7.º ano.

• Distinguir poliedros regulares e irregulares e explicar as diferenças. p. 41
• Inferir a fórmula de Euler a partir da análise de um conjunto alargado de poliedros. p. 42
• Estabelecer relações entre o número de elementos das classes de sólidos (faces, arestas e vértices). p. 42
• Identificar os poliedros regulares que existem e justificar a não existência de outros. p. 41

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática, 7.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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