Equação vetorial e equação reduzida da reta

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de equação vetorial e equação reduzida da reta, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 1

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (1, 2) + k(2, -3), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é a ordenada do ponto de $r$ com abcissa $3$?
   Resolução

   1. Abcissa:
      $1 + k \times (2) = 3 \Leftrightarrow k = 1$
   2. Ordenada:
      $y = 2 + 1 \times (-3) = -1$

   Resposta: -1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, 4) + k(2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. O ponto $Q(-8, 6)$ pertence a $r$. Para que valor de $k$ se obtém o ponto $Q$?
   Resolução

   1. Iguala as abcissas:
      $-4 + k \times (2) = -8 \Leftrightarrow k = -2$
   2. Confirma com as ordenadas:
      $4 + -2 \times (-1) = 6$

   Resposta: -2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, -4) + k(3, 1), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é o declive da reta $r$?
   Resolução

   1. Vetor diretor $\vec{u}(3, 1)$; declive:
      $m = \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

   Resposta: 1/3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (1, -5) + k(-2, 3), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é a ordenada do ponto de $r$ com abcissa $-5$?
   Resolução

   1. Abcissa:
      $1 + k \times (-2) = -5 \Leftrightarrow k = 3$
   2. Ordenada:
      $y = -5 + 3 \times (3) = 4$

   Resposta: 4

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-2, -4) + k(2, -3), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é a ordenada do ponto de $r$ com abcissa $-4$?
   Resolução

   1. Abcissa:
      $-2 + k \times (2) = -4 \Leftrightarrow k = -1$
   2. Ordenada:
      $y = -4 + -1 \times (-3) = -1$

   Resposta: -1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-2, -1) + k(-2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é o declive da reta $r$?
   Resolução

   1. Vetor diretor $\vec{u}(-2, -1)$; declive:
      $m = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

   Resposta: 0,5

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-3, -2) + k(-1, -3), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é o declive da reta $r$?
   Resolução

   1. Vetor diretor $\vec{u}(-1, -3)$; declive:
      $m = \frac{-3}{-1} = 3$

   Resposta: 3

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Ignorou o ponto da equação vetorial ao calcular o parâmetro.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, 4) + k(2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. O ponto $Q(-8, 6)$ pertence a $r$. Para que valor de $k$ se obtém o ponto $Q$?

  Resposta errada: -4 Certa: -2

  Falta descontar o ponto da reta: resolve $-4 + k \times (2) = -8$.

• Errou o sinal do parâmetro k.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, 4) + k(2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. O ponto $Q(-8, 6)$ pertence a $r$. Para que valor de $k$ se obtém o ponto $Q$?

  Resposta errada: 2 Certa: -2

  Confirma o sinal: substitui o valor de $k$ e verifica que obténs o ponto.

• Usou a coordenada errada do vetor diretor.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, 0) + k(-2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é a ordenada do ponto de $r$ com abcissa $-6$?

  Resposta errada: -2 Certa: -1

  Para a ordenada usa a 2.ª coordenada do vetor diretor.

• Usou as coordenadas do ponto como se fossem do vetor diretor.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (-4, 0) + k(-2, -1), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é a ordenada do ponto de $r$ com abcissa $-6$?

  Resposta errada: -7 Certa: -1

  Usa a equação: primeiro descobre $k$ a partir da abcissa.

• Calculou o declive como u₁/u₂ em vez de u₂/u₁.

  Num referencial ortonormado do plano, a reta $r$ é definida pela equação vetorial $(x, y) = (0, 2) + k(3, 4), \ k \in \mathbb{R}$. Qual é o declive da reta $r$?

  Resposta errada: 0,75 Certa: 4/3

  O declive é $\frac{u_2}{u_1}$ (variação de $y$ sobre variação de $x$).

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• Escrever uma equação vetorial de uma reta. p. 42

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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