Vetores no plano e no espaço

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de vetores no plano e no espaço, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(4, -5)$ e $\vec{v}(8, k)$, com $k \in \mathbb{R}$. Qual é o valor de $k$ para o qual os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares?
   Resolução

   1. Colineares ⇔ coordenadas proporcionais:
      $\frac{8}{4} = \frac{k}{-5}$
   2. Logo:
      $k = 2 \times (-5) = -10$

   Resposta: -10

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado $xOy$, considera os pontos $A(1, -3)$ e $B(6, -15)$.
   
   Qual é a norma do vetor $\overrightarrow{AB}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $\sqrt{373}$
   2. $13$
   3. $169$
   4. $17$
   Resolução

   1. Coordenadas:
      $\overrightarrow{AB} = B - A = (5, -12)$
   2. Norma:
      $\sqrt{(5)^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$

   Resposta: B. $13$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado do plano, considera o vetor $\vec{u}(-21, -20)$. Qual é a norma de $\vec{u}$?
   Resolução

   1. Norma:
      $\|\vec{u}\| = \sqrt{(-21)^2 + (-20)^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{841} = 29$

   Resposta: 29

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado $xOy$, considera os pontos $A(2, 1)$ e $B(-6, 7)$.
   
   Qual é a norma do vetor $\overrightarrow{AB}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $10$
   2. $4 \sqrt{5}$
   3. $100$
   4. $14$
   Resolução

   1. Coordenadas:
      $\overrightarrow{AB} = B - A = (-8, 6)$
   2. Norma:
      $\sqrt{(-8)^2 + (6)^2} = \sqrt{100} = 10$

   Resposta: A. $10$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(8, 5)$ e $\vec{v}(-5, 7)$. Qual é a abcissa do vetor $3\vec{u} + \vec{v}$?
   Resolução

   1. Abcissa de $3\vec{u}$:
      $3 \times (8) = 24$
   2. Soma a abcissa de $\vec{v}$:
      $24 + (-5) = 19$

   Resposta: 19

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado $xOy$, considera os pontos $A(-3, 5)$ e $B(5, 11)$.
   
   Qual é a norma do vetor $\overrightarrow{AB}$?
   
   Seleciona a opção correta.
   1. $100$
   2. $14$
   3. $10$
   4. $2 \sqrt{65}$
   Resolução

   1. Coordenadas:
      $\overrightarrow{AB} = B - A = (8, 6)$
   2. Norma:
      $\sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{100} = 10$

   Resposta: C. $10$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(4, 6)$ e $B(3, -7)$. Qual é a abcissa do vetor $\overrightarrow{AB}$?
   Resolução

   1. $\overrightarrow{AB} = B - A$.
   2. Abcissa:
      $3 - (4) = -1$

   Resposta: -1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Calculou A − B em vez de B − A para as coordenadas do vetor AB.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(-3, -4)$ e $B(1, 1)$. Qual é a ordenada do vetor $\overrightarrow{AB}$?

  Resposta errada: -5 Certa: 5

  $\overrightarrow{AB} = B - A$ (extremidade menos origem).

• Esqueceu a raiz quadrada no cálculo da norma (deu a soma dos quadrados).

  Num referencial ortonormado $xOy$, considera os pontos $A(2, 0)$ e $B(7, -12)$.
  
  Qual é a norma do vetor $\overrightarrow{AB}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: D. $169$ Certa: B. $13$

  Falta a raiz quadrada da soma dos quadrados.

• Somou as coordenadas (em valor absoluto) em vez de usar a raiz da soma dos quadrados.

  Num referencial ortonormado $xOy$, considera os pontos $A(2, 0)$ e $B(7, -12)$.
  
  Qual é a norma do vetor $\overrightarrow{AB}$?
  
  Seleciona a opção correta.

  Resposta errada: A. $17$ Certa: B. $13$

  A norma não é a soma das coordenadas (em valor absoluto).

• No produto de um escalar por um vetor, somou o escalar à coordenada em vez de multiplicar.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(8, 5)$ e $\vec{v}(-5, 7)$. Qual é a abcissa do vetor $3\vec{u} + \vec{v}$?

  Resposta errada: 6 Certa: 19

  $3\vec{u}$ multiplica cada coordenada de $\vec{u}$ por 3.

• Para vetores colineares, manteve a diferença entre coordenadas em vez da razão (as coordenadas são proporcionais).

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(4, -5)$ e $\vec{v}(8, k)$, com $k \in \mathbb{R}$. Qual é o valor de $k$ para o qual os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares?

  Resposta errada: -1 Certa: -10

  Vetores colineares têm coordenadas proporcionais: $\vec{v} = 2\,\vec{u}$.

• Usou a razão invertida entre as coordenadas dos vetores colineares.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os vetores $\vec{u}(4, -5)$ e $\vec{v}(8, k)$, com $k \in \mathbb{R}$. Qual é o valor de $k$ para o qual os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são colineares?

  Resposta errada: -2,5 Certa: -10

  A razão é $\frac{8}{4}$, não $\frac{4}{8}$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• - coordenadas da soma e da diferença de vetores; - coordenadas do produto de um escalar por um vetor e do simétrico de um vetor; - relação entre as coordenadas de vetores colineares; - vetor definido por dois pontos e cálculo das respetivas coordenadas; - coordenadas do ponto resultante da soma de um ponto com um vetor; - cálculo da norma de um vetor por meio das suas coordenadas. p. 41

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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