Geometria analítica no plano

Experimenta

3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de geometria analítica no plano, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 4$. Qual é o raio da circunferência?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
   2. Raio:
      $r = \sqrt{4} = 2$

   Resposta: 2

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(4, -4)$ e $B(-4, 2)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?
   Resolução

   1. Fórmula da distância:
      $\overline{AB} = \sqrt{(-4 - (4))^2 + (2 - (-4))^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

   Resposta: 10

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x + 8)^2 + (y + 1)^2 = 16$. Qual é a abcissa do centro da circunferência?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, com centro $(a, b)$.
   2. Centro:
      $C = (-8, -1)$

   Resposta: -8

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 9$. Qual é a abcissa do centro da circunferência?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, com centro $(a, b)$.
   2. Centro:
      $C = (1, 6)$

   Resposta: 1

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x + 9)^2 + (y + 7)^2 = 25$. Qual dos pontos seguintes pertence à circunferência?
   1. $(-5, -6)$
   2. $(-12, -3)$
   3. $(-4, -2)$
   4. $(6, 11)$
   Resolução

   1. Um ponto pertence à circunferência se as suas coordenadas satisfazem a equação.
   2. Substitui:
      $(-12 - (-9))^2 + (-3 - (-7))^2 = 9 + 16 = 25$

   Resposta: B. $(-12, -3)$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 169$. Qual dos pontos seguintes pertence à circunferência?
   1. $(-9, -14)$
   2. $(-15, 4)$
   3. $(9, 10)$
   4. $(10, 22)$
   Resolução

   1. Um ponto pertence à circunferência se as suas coordenadas satisfazem a equação.
   2. Substitui:
      $(-15 - (-3))^2 + (4 - (9))^2 = 144 + 25 = 169$

   Resposta: B. $(-15, 4)$

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(7, -6)$ e $B(15, -12)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?
   Resolução

   1. Fórmula da distância:
      $\overline{AB} = \sqrt{(15 - (7))^2 + (-12 - (-6))^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$

   Resposta: 10

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Esqueceu a raiz quadrada na fórmula da distância (deu o quadrado da distância).

  Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(4, -4)$ e $B(-4, 2)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?

  Resposta errada: 100 Certa: 10

  $(-4 - (4))^2 + (2 - (-4))^2 = 100$ é o quadrado da distância: falta a raiz.

• Somou as diferenças das coordenadas em vez de usar o teorema de Pitágoras.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(4, -4)$ e $B(-4, 2)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?

  Resposta errada: 14 Certa: 10

  A distância não é a soma das diferenças: usa $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

• No ponto médio, fez a semidiferença das coordenadas em vez da semissoma.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(-5, 4)$ e $B(3, -1)$. Seja $M$ o ponto médio de $[AB]$. Qual é a abcissa de $M$?

  Resposta errada: 4 Certa: -1

  O ponto médio usa a semissoma das coordenadas, não a semidiferença.

• No ponto médio, somou as coordenadas e não dividiu por 2.

  Num referencial ortonormado do plano, considera os pontos $A(-5, 4)$ e $B(3, -1)$. Seja $M$ o ponto médio de $[AB]$. Qual é a abcissa de $M$?

  Resposta errada: -2 Certa: -1

  Falta dividir a soma por 2.

• Leu o raio diretamente do 2.º membro da equação reduzida (esse número é r², não r).

  Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x + 1)^2 + y^2 = 36$. Qual é o raio da circunferência?

  Resposta errada: 36 Certa: 6

  O 2.º membro da equação reduzida é $r^2$: $r = \sqrt{36} = 6$.

• Em (x − a)² + (y − b)² = r², trocou o sinal da coordenada do centro.

  Num referencial ortonormado do plano, considera a circunferência definida por $(x + 5)^2 + y^2 = 4$. Qual é a abcissa do centro da circunferência?

  Resposta errada: 5 Certa: -5

  Em $(x-a)^2$ o centro tem abcissa $a$: de $(x + 5)^2$ vem -5.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• Identificar coordenadas de pontos do plano num referencial cartesiano, ortogonal e monométrico. p. 40
• - coordenadas do ponto médio de um segmento de reta; - fórmula da distância entre dois pontos; p. 40
• Nestas Aprendizagens Essenciais, no estudo que envolve circunferências, só se consideram equações reduzidas. p. 40

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

Temas relacionados