Geometria analítica no espaço

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3 exercícios reais do banco do Estojo. Responde e carrega em Verificar: a correção é feita aqui, na hora.

Exercícios resolvidos

Mais 7 exercícios aprovados de geometria analítica no espaço, do mais fácil ao mais difícil, com a resolução passo a passo.

1. Exercício 4 · nível 2

   Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(-4, -1, -3)$ e $B(2, -4, -1)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?
   Resolução

   1. Distância:
      $\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

   Resposta: 7

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

2. Exercício 5 · nível 2

   Num referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica $S$ é definida por $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 36$. Qual é o raio de $S$?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$.
   2. Raio:
      $r = \sqrt{36} = 6$

   Resposta: 6

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

3. Exercício 6 · nível 3

   Num referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica $S$ é definida por $(x + 8)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 64$. Qual é o raio de $S$?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$.
   2. Raio:
      $r = \sqrt{64} = 8$

   Resposta: 8

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

4. Exercício 7 · nível 3

   Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(-5, 8, -2)$ e $B(-9, 4, 5)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?
   Resolução

   1. Distância:
      $\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$

   Resposta: 9

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

5. Exercício 8 · nível 4

   Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(6, 1, -1)$ e $B(-1, -3, 3)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?
   Resolução

   1. Distância:
      $\overline{AB} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2 + (z_B-z_A)^2}$
   2. Calcula:
      $\sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$

   Resposta: 9

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

6. Exercício 9 · nível 4

   Num referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica $S$ é definida por $(x + 4)^2 + (y + 6)^2 + (z + 3)^2 = 36$. Qual é o raio de $S$?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$.
   2. Raio:
      $r = \sqrt{36} = 6$

   Resposta: 6

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

7. Exercício 10 · nível 5

   Num referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica $S$ é definida por $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 6)^2 = 81$. Qual é o raio de $S$?
   Resolução

   1. Equação reduzida: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2$.
   2. Raio:
      $r = \sqrt{81} = 9$

   Resposta: 9

   Fonte: Exercício original Estojo, gerado por um modelo programado e verificado automaticamente.

Erros típicos

Os enganos mais comuns neste tema, cada um com um exemplo de um exercício do banco.

• Calculou o quadrado da distância (faltou a raiz).

  Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(4, 0, -3)$ e $B(2, -1, -5)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?

  Resposta errada: 9 Certa: 3

  $9$ é o quadrado da distância: falta a raiz quadrada.

• Somou as diferenças das coordenadas em vez de usar a fórmula da distância.

  Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(4, 0, -3)$ e $B(2, -1, -5)$. Qual é a distância entre $A$ e $B$?

  Resposta errada: 5 Certa: 3

  A distância não é a soma das diferenças das coordenadas.

• No ponto médio, não dividiu a soma por 2.

  Num referencial ortonormado do espaço, considera os pontos $A(4, 0, -2)$ e $B(-4, -4, 0)$. Qual é a ordenada do ponto médio de $[AB]$?

  Resposta errada: -4 Certa: -2

  Falta dividir a soma por 2.

• Tomou o 2.º membro da equação reduzida (r²) como raio.

  Num referencial ortonormado do espaço, a superfície esférica $S$ é definida por $(x + 4)^2 + (y + 1)^2 + (z + 2)^2 = 25$. Qual é o raio de $S$?

  Resposta errada: 25 Certa: 5

  O 2.º membro da equação reduzida é $r^2$: $r = \sqrt{25}$.

O que diz o programa

Citações das Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano.

• Identificar coordenadas de pontos do espaço num referencial cartesiano ortogonal e monométrico. p. 40
• Nestas Aprendizagens Essenciais, no estudo que envolve superfícies esféricas só se consideram equações reduzidas. p. 41

Fontes e direitos de autor

• Programa: Aprendizagens Essenciais de Matemática A, 10.º ano (Direção-Geral da Educação, PDF).
• Exercícios: originais do Estojo; a origem de cada um está na linha «Fonte» por baixo dele.
• Créditos e direitos de autor (letras, software e documentos oficiais).

Perguntas frequentes

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